En mathématiques, la fonction de Fabius est un exemple de fonction de classe qui n'est nulle part analytique, trouvée par Jaap Fabius (1966). Elle a également été écrit comme la transformée de Fourier de
par Børge Jessen et Aurel Winner (1935).
La fonction Fabius est définie sur l'intervalle et est donnée par la fonction de répartition de
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
où les ξn sont des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur l'intervalle unité.
Description
modifierCette fonction satisfait la condition initiale , la condition de symétrie pour et l' équation différentielle fonctionnelle pour Il s'ensuit que est monotone croissante pour avec et Il existe une extension unique de f aux nombres réels qui satisfait la même équation différentielle pour tout x . Cette extension peut être définie par f (x) = 0 pour x ≤ 0, f (x + 1) = 1 − f (x) pour 0 ≤ x ≤ 1, et f (x + 2r) = −f (x) pour 0 ≤ x ≤ 2r avec r un entier positif. La séquence d'intervalles dans lesquels cette fonction est positive ou négative suit le même schéma que la suite de Prouhet-Thue-Morse.
Valeurs
modifierLa fonction de Fabius est constante à zéro pour tous les réels négatifs et possède des valeurs rationnelles quand l'argument est un rationnel dyadique positif.
Notes et références
modifier- (en) Juan Arias de Reyna, « Arithmetic of the Fabius function », 2017.
- (en) Juan Arias de Reyna, « An infinitely differentiable function with compact support: Definition and properties », 2017. (an English translation of the author's paper published in Spanish in 1982)
- (en) Alkauskas, Giedrius, Dirichlet series associated with Thue-Morse sequence, 2001 (lire en ligne).
- (ru) Rvachev, V. L. et Rvachev, V. A., Non-classical methods of the approximation theory in boundary value problems, Kiev, Naukova Dumka, 1979.
