Logaritma kompleks 📖 Wikipedia

Pada matematika, logaritma kompleks adalah generalisasi dari logaritma alami dari bilangan kompleks tak nol. Istilah ini merujuk pada salah satu dari penjelasan berikut, yang saling berhubungan:

• Logaritma kompleks dari bilangan kompleks z tak nol, yang didefinisikan sebagai bilangan kompleks w, yaitu e^w = z.^[1][2] Bilangan w diberikan oleh log z.^[1] Jika z dituliskan dalam bentuk polar {{{1}}}, dengan r dan θ adalah bilangan riil dan r > 0, maka ln(r) + i θ adalah satu logaritma dari z. Seluruh logaritma kompleks dari z adalah bilangan dalam bentuk ln(r) + i(θ + 2π k) untuk bilangan bulat k.^[1][2] Nilai logaritma tersebut berjarak sama sepanjang garis vertikal pada bidang kompleks.
• Fungsi bernilai kompleks log : U → ℂ didefinisikan pada beberapa subhimpunan U dari himpunan ℂ^* dari bilangan kompleks tak nol, menyelesaikan e^{log z} untuk semua z pada U. Fungsi logaritma kompleks tersebut beranalogi pada fungsi logaritma riil ln : ℝ_> 0 → ℝ , yaitu fungsi invers dari fungsi eksponensial riil yang maka dapat menyelesaikan e^{ln x} = x untuk seluruh bilangan riil positif x. Fungsi logaritma kompleks dapat dibentuk dengan formula eksplisit yang melibatkan fungsi bernilai riil, dengan mengintegralkan 1z, atau dengan proses pengontinuan analitik.

Tidak ada fungsi logaritma kompleks kontinu yang didefinisikan pada seluruh ℂ^*. Cara untuk menyelesaikannya, yaitu dengan percabangan, bidang Riemann terkait, dan invers setengah dari fungsi eksponensial kompleks. Nilai pokok mendefinisikan fungsi logaritma khusus Log : ℂ^* → ℂ yang kontinu kecuali di sepanjang sumbu riil negatif. Pada bidang kompleks dengan menghilangkan bilangan riil negatif dan 0, ini adalah pengontinuan analitik dari logaritma alami (riil).

• Logaritma kompleks diperlukan untuk mendefinisikan eksponensiasi yang memiliki bilangan kompleks sebagai bilangan pokoknya. Yaitu, jika a dan b adalah bilangan kompleks dengan a ≠ 0, kita dapat menggunakan nilai pokok untuk mendefinisikan a^b = e^{b Log a}. Operator Log a juga dapat diubah menjadi logaritma lain dari a untuk mendapatkan nilai dari a^b, membedakan dari faktor terhadap bentuk e^2π i nb.^[1][3] Ekspresi a^b memiliki nilai tunggal jika dan hanya jika b adalah bilangan bulat.^[1]
• Karena fungsi trigonometri dapat diekspresikan sebagai fungsi rasional dari e^iz, fungsi invers trigonometri dapat diekspresikan dalam bentuk logaritma kompleks.
• Di teknik listrik, tetapan rambatan [en] melibatkan logaritma kompleks.

Seperti bilangan riil, bilangan pokok b dan antilogaritma x dapat didefinisikan sebagai bilangan kompleks, sebagai berikut:

dengan perbedaan, yaitu nilainya bergantung pada percabangan yang dipilih untuk logaritma yang didefinisikan pada b dan x (dengan log b ≠ 0). Misalnya, menggunakan nilai pokok memberikan:

Jika f adalah fungsi holomorfik pada subhimpunan U dari ℂ yang terkoneksi, maka cabang dari log f pada U adalah fungsi kontinu g pada U sehingga e ^g(z) = f(z) untuk semua z di U. Fungsi g tersebut harus berupa fungsi holomorfik dengan g ' (z) = f ' (z)f (z) untuk semua z di U.

Jika U adalah subhimpunan terbuka yang terkoneksi sederhana dari ℂ, dan f adalah fungsi holomorfik yang tidak hilang di mana pun pada U, maka cabang dari log f didefinisikan pada U dapat dibangun dengan memilih titik awal a pada U, memilih logaritma b dari f(a), dan mendefinisikan

${\displaystyle g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw}$

untuk setiap z pada U.^[2]

• Ahlfors, Lars V. (1966). Complex Analysis (Edisi 2). McGraw-Hill. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Calkin, Neil J.; Chan, Eunice Y. S; Corless, Robert M (2023). Computational Discovery on Jupyter. Society for Industrial and Applied Mathematics. doi:10.1137/1.9781611977509. ISBN 978-1-61197-749-3. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable (Edisi 2). Springer. ISBN 9780387903286. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Jeffrey, D. J; Hare, D. E. G; Corless, Robert M (1996). "Unwinding the branches of the Lambert W function" (PDF). The Mathematical Scientist. 21: 1–7. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Kreyszig, Erwin (2011). Advanced Engineering Mathematics (Edisi 10). Berlin: Wiley. ISBN 9780470458365. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Lang, Serge (1993). Complex Analysis (Edisi 3). Springer-Verlag. ISBN 9783642592737. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Moretti, Gino (1964). Functions of a Complex Variable. Prentice-Hall. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Sarason, Donald (2007). Complex Function Theory (Edisi 2). American Mathematical Society. ISBN 9780821886229. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)
• Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis (Edisi 4). Cambridge University Press. Pemeliharaan CS1: Ref menduplikasi bawaan (link)