📑 Table of Contents▼


Pembuktian tanpa kalimat dari teorema Nicomachus (Gulley 2010) bahwa penjumlahan dari n kubus pertama adalah kuadrat dari bilangan segitiga ke-n

Pada matematika, pembuktian tanpa kalimat (atau pembuktian visual) adalah ilustrasi dari identitas atau pernyataan matematika yang dapat didemonstrasikan sebagai bukti mandiri oleh diagram tanpa kalimat penjelas. Pembuktian seperti ini dapat dikatakan lebih elegan daripada pembuktian formal atau teliti oleh karena sifat pembuktian mandirinya.[1] Ketika diagram mendemonstrasikan kasus spesifik dari pernyataan umum, diagram tersebut harus digeneralisasikan agar menjadi pembuktian matematika.[2]

Pembuktian tanpa kalimat tidak sama dengan pembuktian matematika karena ia menghilangkan detail dari argumen logis yang diilustrasikannya. Namun, pembuktian ini dapat memberikan intuisi yang berharga terhadap pemirsa yang dapat membantu mereka memformulasikan atau memahami pembuktian nyata.

Contoh

sunting

Jumlah dari bilangan ganjil

sunting
Pembuktian tanpa kalimat dari teorema penjumlahan bilangan ganjil.

Pernyataan bahwa penjumlahan semua bilangan ganjil positif hingga 2n − 1 adalah kuadrat sempurna&emdash;lebih spesifik, kuadrat sempurna dari n2&emdash;dapat didemonstrasikan oleh pembuktian tanpa kalimat.[3]

Pada satu sisi kisi-kisi, satu blok merepresentasikan 1, kuadrat pertama. Bilangan tersebut dapat dibungkus pada dua sisi oleh garis dari tiga blok (bilangan ganjil selanjutnya) untuk membuat 2 × 2 = 4 block, kuadrat kedua. Dengan menambahkan lima blok akan membuat 3 × 3 = 9, kuadrat ketiga. Proses ini dapat berlanjut tanpa batas.

Teorema Pythagoras

sunting
Artikel utama: Teorema Pythagoras § Bukti penataan ulang
Bukti penataan ulang dari teorema Pythagoras. Area yang tidak diwarnai abu-abu akan bernilai konstan sebelum dan setelah penataan ulang dari setigita: di kiri terlihat sama dengan c2, dan di kanan sama dengan a2 + b2.

Teorema Pythagoras yang menyatakan bahwa a2 + b2 = c2 dapat dibuktikan tanpa kalimat.[4]

Salah satu metode untuk membuktikannya adalah dengan memvisualisasikan persegi yang besar dengan panjang sisi a + b, dengan empat segitiga siku-siku yang memiliki panjang a, b, dan c pada sisi-sisinya. Hal ini akan membuat ruang kosong persegi diagonal dengan area c2. Empat segitiga tersebut dapat ditata ulang pada persegi yang lebih besar untuk membagi ruang yang tidak digunakan menjadi dua persegi a2 dan b2.[5]

Pertidaksamaan Jensen

sunting
Pembuktian visual dari pertidaksamaan Jensen.

Pertidaksamaan Jensen dapat juga dibuktikan secara visual. Kurva garis putus-putus sepanjang sumbu X adalah distribusi hipotesis dari X, sementara kurva garis putus-putus sepanjang sumbu Y adalah distribusid dari nilai Y. Pemetaan cembung dari Y(X) semakin meregangkan distribusi tersebut semakin bertambahnya nilai X.[6]

Penggunaan

sunting

Mathematical Magazine dan The College Mathematics Journal menjalankan fitur reguler yang berjudul "Pembuktian tanpa kalimat" yang bersisi, sesuai dengan judulnya, pembuktian tanpa kalimat.[2] Situs web The Art of Problem Solving dan USAMTS menjalankan applet Java yang mengilustrasikan pembuktian tanpa kalimat.[7][8]

Perbandingan terhadap pembuktian formal

sunting

Agar pembuktian dapat diterima oleh komunitas matematika, pembuktian tersebut harus menunjukkan secara logis bagaimana pernyataan tersebut dapat membuktikan secara total dan tak diragukan suatu set asumsi.[9] Pembuktian tanpa kalimat mungkin menyiratkan argumen tersebut, tetapi ia tidak membuatnya secara langsung. Jadi, pembuktian tanpa kalimat tidak dapat menjadi pembuktian formal ketika dibutuhkan.[10][11] Lebih tepatnya, matematikawan menggunakan pembuktian tanpa kalimat sebagai ilustrasi dan alat pengajaran untuk ide yang telah dibuktikan secara formal.[12][13]

Referensi

sunting

Kutipan

sunting
  1. ^ Dunham 1994, hlm. 120
  2. ^ a b Weisstein, Eric W. "Proof without Words". MathWorld. Dikunjungi pada 20 Juni 2008.
  3. ^ Dunham 1994, hlm. 121
  4. ^ Nelsen 1997, hlm. 3
  5. ^ Benson, Donald (1999). The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies (dalam bahasa Inggris). Oxford University Press. hlm. 172–173.
  6. ^ McShane, E. J. (1937), "Jensen's Inequality", Bulletin of the American Mathematical Society (dalam bahasa Inggris), vol. 43, no. 8, American Mathematical Society, hlm. 527, doi:10.1090/S0002-9904-1937-06588-8
  7. ^ Gallery of Proofs, Art of Problem Solving, diakses tanggal 2015-05-28
  8. ^ Gallery of Proofs (dalam bahasa Inggris), USA Mathematical Talent Search, diakses tanggal 2015-05-28
  9. ^ Lang, Serge (1971). Basic Mathematics (dalam bahasa Inggris). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. hlm. 94. We always try to keep clearly in mind what we assume and what we prove. By a 'proof' we mean a sequence of statements each of which is either assumed, or follows from the preceding statements by a rule of deduction, which is itself assumed.
  10. ^ Benson, Steve; Addington, Susan; Arshavsky, Nina; Cuoco; Al; Goldenberg, E. Paul; Karnowski, Eric (6 Oktober 2004). Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics (dalam bahasa Inggris) (Edisi Illustrated). Corwin Press. hlm. 78. ISBN 9781412905206. Proofs without words are not really proofs, strictly speaking, since details are typically lacking.
  11. ^ Spivak, Michael (2008). Calculus (dalam bahasa Inggris) (Edisi 4). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. hlm. 138. ISBN 978-0-914098-91-1. Basing the argument on a geometric picture is not a proof, however...
  12. ^ Benson, Steve; Addington, Susan; Arshavsky, Nina; Cuoco; Al; Goldenberg, E. Paul; Karnowski, Eric (6 Oktober 2004). Facilitator's Guide to Ways to Think About Mathematics (dalam bahasa Inggris) (Edisi Illustrated). Corwin Press. hlm. 78. ISBN 9781412905206. However, since most proofs without words are visual in nature, they often provide a reminder or hint of what's missing.
  13. ^ Schulte, Tom (12 Januari 2011). "Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking (review)". MAA Reviews (dalam bahasa Inggris). The Mathematical Association of America. Diakses tanggal 26 Oktober 2022. This slim collection of varied visual 'proofs' (a term, it can be argued, loosely applied here) is entertaining and enlightening. I personally find such representations engaging and stimulating aids to that 'aha!' moment when symbolic argument seems not to clarify.

Daftar pustaka

sunting

📚 Artikel Terkait di Wikipedia

Hukum jajaran genjang

MathWorld. The Parallelogram Law Proven Simply at Dreamshire blog The Parallelogram Law: A Proof Without Words at cut-the-knot Templat:Matematika Yunani kuno

Identitas Sophie Germain

di atas. Moreno, Samuel G.; García-Caballero, Esther M. (2019), "Proof without words: Sophie Germain's identity", The College Mathematics Journal, 50

Daftar pangram

(Being bounced around quickly annoyed the disheveled taxi drivers. – all words in high school dictionary) PR flacks quiz gym: TV DJ box when? (Public relations

Diskografi Big Hit Music

Diakses tanggal 13 April 2018. "Jinwoon(2AM), Star Love Fish - 말하지 못한 말(Words I Couldn't Say) MV 스트로베리 익스트림 페스티벌". youtube.com. Diakses tanggal 16 April

Barisan aritmetika-geometrik

Press. hlm. 118. ISBN 978-0-521-86153-3. Swain, Stuart G. (2018). "Proof Without Words: Gabriel's Staircase" [Bukti Tanpa Kata: Tangga Jibril] (PDF). Mathematics

Paus (Gereja Katolik)

Diakses tanggal 1 August 2011. Proof and Reason for the Papal Office, About Catholics. http://www.aboutcatholics.com/worship/proof_reason_papal_office/ "Matthew

Kurt Gödel

Gödel Prize Gödel's speed-up theorem Teorema ketaklengkapan Gödel Original proof of Gödel's completeness theorem Slingshot argument Tucker McElroy (2005)

Cinta kasih (Buddhisme)

(2015-06-02). "Loving-Kindness Meditation to Target Affect in Mood Disorders: A Proof-of-Concept Study". Evidence-Based Complementary and Alternative Medicine