Transformasi geometri 📖 Wikipedia

Transformasi geometri merupakan suatu proses perubahan bentuk pada suatu bidang geometri yang meliputi posisi atau letak, besar, dan bentuknya sendiri.^[1] Secara lebih ketat, transformasi geometri didefinisikan sebagai pemetaan satu-satu pada dari suatu himpunan titik-saktipada bidang ke dirinya sendiri.^[2] Anggota daerah asal dinamakan benda dan anggota daerah hasil yang bersesuaian dinamakan bayangan.

Contoh transformasi di antaranya adalah translasi (pergeseran), dilatasi (perubahan), rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan),^[3] dan komposisi dua transformasi.^[4]

Isometri adalah transformasi yang mengawetkan jarak, kecuali untuk mengawetkan jarak antara dua titik. Sifat isomentrik dapat memetakan garis menjadi garis (Kolineasi) dan mengawetkan besar sudut antara dua garis dan kesejajaran dua garis.^[5] Isometri ada dua jenis yaitu sebagai berikut.

• Memindahkan bangun geometri secara langsung dari satu posisi ke berbagai posisi lain.
• Memindahkan bangun dengan cara memutar bangunnya.^[6]

Pemetaan bisa dikatakan terjadi langsung, apabila pemetaannya bisa mengawetkan orientasi. Hal itu bisa terjadi jika arah gerak benda sama dengan arah gerak bayangan. Sebaliknya, pemetaan dikatakan berlawanan apabila pemetaan tersebut membalikan orientasi. Hal ini bisa terjadi kalau arah gerakan benda berlawanan dengan arah gerakan bayangan.^[6]

Transformasi geometri melibatkan: translasi, yang memindahkan bangunan geometri di bidang dengan jarak yang konstan; dilatasi, yang mengubah ukuran suatu bangunan geometri; rotasi, yang memutar bangunan geometri; dan refleksi, yang mencerminkan bangunan geometri melalui sumbu putar.

Translasi atau pergeseran adalah salah satu transformasi yang memindahkan semua titik yang ada pada bidang dengan jarak atau arah yang konstan. Translasi bisa disebut juga transformasi yang sifatnya Isometris. Suatu padanan S dikatakan mengalami geseran apabila ada ruas garis berarah ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$, sehingga titik P pada bidang menjadi P’ dengan rumus P' = S ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$ (P) dan PP = ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$. Setiap ruas garis berarah akan menentukan translasi. Apabila ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$ suatu garis berarah, maka lambang S ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$ dianggap sebagai geseran yang sesuai dengan ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$.^[6]

Rumus translasi adalah (x',y') = (a,b) + (x,y). Dimana (x',y') adalah titik bayangan. (a,b) adalah vektor tranlasi, dan (x,y) adalah titik asal.^[6]

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran dengan memperbesar atau memperkecil suatu bangunan geometri tanpa harus mengubahnya melalui faktor pengali. Yang dimaksud dengan faktor pengali adalah faktor skala titik tertentu yang berperan sebagai pusat dilatasi.

Perputaran atau rotasi adalah salah satu transformasi yang memasang satu titik ke kumpulan titik lainnya dengan cara diputar. Selain itu, rotasi juga dianggap sebagai kegiatan memindahkan objek (gambar) melalui garis lengkung pada titik dengan sudut putar tertentu sebagai pusat. Perpindahan yang dimaksud bisa dilakukan searah jarum jam atau berlawanan dengan arah jarum jam yang penting bisa mengubah kedudukan gambar. Sebelum memahami sebuah perputaran, maka terlebih dahulu harus mengerti tentang sudut berarah. Sudut berarah adalah salah satu sudut yang satu kakinya berperan sebagai sisi awal dan kaki yang lainnya dianggap sebagai sisi akhir. Pada transformasi, perputaran terlihat pada titik atau bayangan bangun yang kongruen dengan bangun asalnya. Maka dari itu, rotasi juga memiliki sifat transformasi isometris seperti halnya translasi dan refleksi. Pada transformasi isometris, jarak dianggap sebagai besaran yang tidak berubah atau inverian. Perputaran juga ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah sudut rotasi, dan besar sudut rotasi. Apabila arah putaran searah dengan jarum jam, maka hal itu dipandang sudut yang negatif. Sebaliknya apabila arah perputaran berlawanan dengan jarum jam maka dianggap sebagai sudut positif.^[6]

Rumus rotasi secara umum dengan titik pusat (a,b).

• Rotasi sejauh 0° dengan pusat (a,b) : ${\displaystyle {\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}\cos {\displaystyle \emptyset }&-\sin {\displaystyle \emptyset }\\\sin {\displaystyle \emptyset }&\cos {\displaystyle \emptyset }\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}}$
• Rotasi sejauh 90° dengan pusat (a,b) : ${\displaystyle {\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}}$
• Rotasi sejauh 180° dengan pusat (a,b) : ${\displaystyle {\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}}$
• Rotasi sejauh 270° dengan pusat (a,b) : ${\displaystyle {\binom {x'}{y'}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}x&-a\\y&-b\end{pmatrix}}+{\binom {a}{b}}}$^[7]

Refleksi atau disebut juga pencerminan adalah salah satu bagian transformasi yang memindahkan titik pada bangun geometri dengan menggunakan sifat benda dan bayangan cermin datar. Lambang refleksi adalah R. Refleksi garis S adalah fungsi Rs yang didefinisikan pada semua titik bidang v dengan penjelasan rumus sebagai berikut.

• P ${\displaystyle \in }$ S, Rs (P) = P'
• P ${\displaystyle \not \in }$ S, Rs (P) = P', sehingga S adalah sumbu ruas PP'.^[6]

Rumus umum refleksi adalah sebagai berikut.

• Pencerminan terhadap sumbu -x : (x,y) → (x, -y)
• Pencerminan terhadap sumbu -y : (x,y) → (-x, y)
• Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (y,x)
• Pencerminan terhadap garis y = x : (x,y) → (-y, -x)
• Pencerminan terhadap garis x = h : (x,y) → (2h -x,y)
• Pencerminan terhadap garis y = k : (x,y) → (x, 2k–y)^[3]

Berdasarkan prinsip sebelumnya, transformasi geometri dapat diterapkan pada berbagai objek geometri yang dikenal secara umum, misalnya poligon, garis, polihedral atau pun pada ruang objek-objek itu berada. Transformasi geometri menawarkan berbagai pandangan dalam banyak topik tradisional, seperti kesebangunan, kekongruenan, dan simetri. Selain itu juga, transformasi geometri memiliki fungsi sebagai basis aplikasi kontemporer dalam arsitektur,^[8] seni,^[9] film,^[10] permesinan,^[11] dan televisi.^[12]

• Marsigit (2008), Matematika, hlm. 204-229, ISBN 978-979-756-899-6
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3A Untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-504-1. (Indonesia)